小孫的狂想世界

魔方陣（Magic Square）我想這個詞大家應該不陌生

講的就是在一個 n*n 的方陣裡

每一列（row）、每一欄（column）以及對角線（diagonal）中的總和都會一樣

以 3*3 的矩陣來說

共有 1～9 這九個數字，總和為 45

因此直覺上認為每列和和每欄和會是 45/3 = 15

以下則為楊輝於《續古摘奇算經》中所敘述的一種排法（適用於奇數階）



楊輝在敘述此魔方陣是這麼說的：

「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺進；
戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。」

九子斜排：


上下對易：


左右相更：


四維挺進：


如果我們把它擴大為 5*5 的方陣

此四句的演算法仍然適用，請看以下

全子斜排：


上下對易：


左右相更：


四維挺進：


有趣吧！



現在來看看

如果這些魔方陣剛好是 Game Theory 中的 game matrix

（我是不知道會有怎樣的遊戲玩起來它的 game matrix 剛好是魔方陣XD）

它是不會有 pure strategy 的，可以嘗試找出 optimal mixed strategy

以此 5*5 的方陣來說

X*=Y*=(1/5,1/5,1/5,1/5,1/5)

且 the value of the game v(A)=13

剛好是正中間那個數字，也等於 65/5



如果把它擴為一般式

也就是說對一個 n*n 的方陣 A 來說

若各列各欄和對角線元素總和為 S

則 v(A)= S/n

且 X*=Y*=(1/n,1/n,...,1/n)